Argomenti trattati a lezione

03.10.11

First Lesson, condotta dai rappresentanti delle aree amministrative per illustrare le caratteristiche e le modalità di fruizione dei servizi come AlmaWelcome!, Certificati Online, Biblioteca, AlmaWifi, ECDL - Patente Informatica Europea del Computer, l'accesso ai laboratori informatici, ecc. (30 minuti).
Presentazione del corso: programma, testi consigliati, modalità dell'esame, tutorato, software per il calcolo numerico (Octave - l'alternativa gratuita a MATLAB) e per il calcolo simbolico (REDUCE per tante piattaforme, in particolare il reduce-windows64-20110414, 9.5 MB).
Numeri naturali, interi, razionali, numeri razionali come numeri decimali periodici, somma parziale e somma di una serie geometrica, sua applicazione ai numeri periodici per trovare le loro frazioni generatrici, potenze con base positiva ed esponenti razionali, regole del calcolo con le potenze, la radice di due non è un numero razionale, successione di intervalli che definisce la radice di due, cenno sulla costruzione dei numeri reali mediante (classi di equivalenza di) successioni di intervalli annidati (“scatole cinesi”), numeri reali in notazione scientifica.

05.10.11

Potenze con base positiva ed esponenti reali, potenze di dieci e potenze di due, prefissi delle unità di misura (cenno), unità di informazione ( bit, byte), logaritmi, regole del calcolo con i logaritmi, in particolare cambiamento di base nei logaritmi, numero di Nepero o di Eulero = 2,7IbsenIbsen4590 ... (Henrik Ibsen, 1828-1906, poeta e drammaturgo norvegese), logaritmo naturale, esempi.
Numeri finiti, numeri floating-point: approssimazione della mantissa per troncamento e per arrotondamento, range degli esponenti, numeri binari, numeri esadecimali, algoritmi per la conversione della parte intera e della parte frazionaria di un numero decimale in un numero binario, esempi, in particolare esempi di numeri decimali finiti che necessitano infinite cifre binarie, memorizzazione dei numeri finiti (segno, esponente e mantissa), IEEE-754 floating-point standard, cardinalità dell'insieme dei numeri finiti, numeri finiti di MATLAB/Octave.
Esperimento con il calcolatore: operazioni aritmetiche con Octave (moltiplicazione, divisione, potenze), format long, ciclo for: (a) moltiplicare 1/10 per 11, (b) togliere 1, (c) ripetere 20 volte i passi (a) e (b) e riflettere sui risultati ottenuti.

07.10.11

Numeri finiti di MATLAB/Octave, più piccolo e più grande numero finito positivo (realmax e realmin in MATLAB/Octave), overflow e underflow, richiami sul valore assoluto di un numero reale, proprietà del valore assoluto, in particolare disuguaglianza triangolare, errori di rappresentazione di un numero reale, teorema sulla maggiorazione dell'errore relativo, unità di arrotondamento, precisione della macchina (eps in Octave). Aritmetica floating point: maggiorazione dell'errore relativo di un prodotto o di un quoziente e di una somma o di una differenza di numeri reali in aritmetica floating-point, (si veda C. Guerrini, pagine 31-32), esempio per l'effetto della cancellazione numerica (si veda il file dei comandi della sessione Octave a lezione), proprietà dell'aritmetica in virgola mobile. Introduzione all'ambiente di programmazione Octave, download Octave 3.2.4 per Windows (69,6 MB), installazione e personalizzazione di Octave sotto Windows.
Esercizi consigliati: foglio del 07/10/2011.

10.10.11

Richiami sulla costruzione dei numeri interi e razionali partendo dai numeri reali, cenno sulla definizione dei numeri reali mediante successioni di Cauchy, definizione di successione numerica convergente, retta numerica o retta reale, rappresentazione dei numeri reali come numeri floating-point in singola o doppia precisione, file dei comandi della sessione Octave. Numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, esempi, piano dei numeri complessi o piano di Wessel - Argand - Gauss, vettori nel piano (cenno), complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso.
Laboratorio di informatica con la prima sessione Octave: comando diary per salvare una sessione Octave, comando pwd (abbreviazione dalla lingua inglese di print working directory, stampa la directory corrente), operazioni aritmetiche con numeri, esempi di matrici e vettori, comando size, plot del grafico di una funzione e print per salvarlo in un file pdf, numeri complessi in Octave, i comandi real, imag, abs, compass.

12.10.11

Angolo elementare, angolo orientato, misura di angoli orientati in gradi e in radianti, funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente), valori particolari delle funzioni goniometriche, relazioni tra le funzioni goniometriche (angoli complementari, angoli opposti, angoli supplementari), grafici delle funzioni goniometriche, funzioni inverse delle funzioni goniometriche (arcoseno, arcocoseno, arcotangente), coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa.
Laboratorio di informatica: m-file e function, salvare e utilizzare l'm-file della funzione vis_floating.m per visualizzare i numeri floating-point, dichiarazione di variabili, stringhe, costruzione if . . . else, l'espressione if (x) controlla se x è diverso da zero, uso dell'editor interno per creare un m-file di una funzione, funzione costante: costante universale dei gas R.m, funzioni interne, funzioni inline, costruzione a : step : b.
Esercizi consigliati: foglio del 13/10/2011.

17.10.11

Funzione atan2(y,x) (cenno), coordinate sferiche (o coordinate polari nello spazio), rotazione del piano, formule di addizione, di sottrazione e di duplicazione per le funzioni seno e coseno, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della loro moltiplicazione (trasformazioni di similitudine del piano), formula di De Moivre, radici n-esime, esempio.
Laboratorio di informatica: conversione di coordinate cartesiane in coordinate polari o coordinate sferiche e viceversa, comandi cart2pol, pol2cart, cart2sph, sph2cart, m-file di una funzione per trasformare l'output da radianti in gradi, visualizzazione della moltiplicazione di numeri complessi (trasformazioni di similitudine del piano), comandi plot, hold on, hold off, axis equal, polinomi in Octave, comando roots.

19.10.11

Esempi di radici n-esime, in particolare radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra, formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Serie convergenti e divergenti, esempi (serie geometrica, serie armonica, serie di Taylor della funzione esponenziale e delle funzione seno e coseno), funzione esponenziale complessa, formula di Eulero.
Laboratorio di informatica: radici n-esime di numeri complessi e radici di polinomi, plot delle radici, comandi grid on, grid off, scambiare le componenti di un vettore, funzione esponenziale complessa exp, funzione logaritmo complessa log, ciclo for, comando sum. Cenno al software di calcolo simbolico REDUCE; download per Windows 32 bit (9.2 MB), download per Windows 64 bit (9.4 MB), manuale di REDUCE.
Esercizi consigliati: foglio del 20/10/2011.

21.10.11

Funzione esponenziale complessa, logaritmo e logaritmo complesso (cenno), funzione esponenziale e trigonometria, formule di addizione per le funzioni seno e coseno. Vettori geometrici.
Laboratorio di informatica: alcuni comandi di MATLAB/Octave relativi ai polinomi (polyval, conv, polyder, polyint), Metodo di Ruffini-Horner (Paolo Ruffini, 1765 - 1822, William George Horner, 1786 - 1837) per la valutazione efficiente di un polinomio e della sua derivata in un punto assegnato, richiami sulle potenze di un binomio (formula di Newton), coefficienti binomiali e loro proprietà, calcolo del triangolo di Tartaglia o di Pascal con Octave,

24.10.11

Vettori geometrici, somma o risultante di vettori, poligono vettoriale, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, regole dell'algebra vettoriale, definizione di spazio vettoriale, componenti di un vettore, vettori numerici o algebrici, norma, operazioni con i vettori numerici, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e definizione per vettori di Rⁿ, disuguaglianza di Cauchy- Buniakovskii-Schwarz.
Laboratorio di informatica: divisione di polinomi (comando deconv), coefficienti binomiali e combinazioni (comando nchoosek e factorial), operazioni con vettori (comando dot).

26.10.11

Prodotto scalare o prodotto interno in uno spazio vettoriale reale (complesso) come forma bilineare (sesquilineare) simmetrica (hermitiana), definita positiva. Spazio euclideo (unitario o prehilbertiano), norma, distanza (metrica) indotte dal prodotto scalare, angolo tra due vettori reali. Trasposizione (.') e trasposizione coniugata (') in Octave/MATLAB. Proiezione di un vettore su un vettore non nullo, cenno al primo passo del procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz.
Laboratorio di informatica: calcolo vettoriale (prodotto scalare, prodotto vettoriale, applicazioni) e visualizzazione dei vettori, comandi norm, dot, cross, acos, quiver, quiver3.
Esercizi consigliati: foglio del 27/10/2011.

28.10.11

Prodotto scalare e prodotto vettoriale, combinazione lineare di una famiglia di vettori, sottospazi vettoriali, span (copertura) lineare o sottospazio generato da una famiglia di vettori.
Laboratorio di informatica: Equazioni non lineari, il metodo di bisezione, errore assoluto del metodo, criteri di arresto, implementazione del metodo di bisezione come function di Octave/MATLAB: bi.m (programma grezzo) oppure bisection.m (programma molto più raffinato, però contenente un errore, si veda il progetto 4). Comandi sign, eval, urlread.

02.11.11

Famiglia di vettori linearmente indipendente e linearmente dipendente, esempi, base di uno spazio vettoriale, coordinate di un vettore, esempi, dimensione di uno spazio vettoriale, esempi di spazi vettoriali di dimensione finita e di dimensione infinita, definizione di funzione o applicazione lineare, esempi.
Laboratorio di informatica: applicazione della funzione bisection.m al calcolo del volume di un gas reale (Quarteroni-Saleri, Problema 2.2), si veda il foglio del 02/11/2011. Comandi feval, log2, ceil, printf.
Esercizi consigliati: foglio del 03/11/2011.

04.11.11

Spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra K-spazi vettoriali, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari, algebra delle matrici (uguaglianza, somma, differenza, matrice nulla o matrice zero, moltiplicazione di una matrice per un numero, prodotto tra matrici), composizione di trasformazioni lineari e prodotto tra matrici.
Laboratorio di informatica: operazioni sulle matrici, estrarre elementi da una matrice, non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, matrici speciali: matrice zero (zeros), matrice ones, matrice identità (eye), matrici con entrate casuali (rand, randn), comandi fix, min, max, mean, matrice triangolare superiore (alta) e inferiore (bassa), matrice diagonale, comandi triu, tril, diag, trasposta (A.') e trasposta coniugata (A') di una matrice, matrice simmetrica, matrice hermitiana.

07.11.11

Rappresentazione matriciale di trasformazioni lineari, sistemi di riferimento, nucleo, immagine e rango di una trasformazione lineare, rango (o caratteristica) di una matrice, formula di dimensione (teorema del rango), suriettività e iniettività di una trasformazione lineare, caso particolare di un endomorfismo di uno spazio vettoriale, sistema lineare di due equazioni in due incognite, regola di Cramer, determinante (sviluppo di Laplace).
Laboratorio di informatica: calcolo del determinante secondo Laplace e con il comando det di Octave, calcolo del determinante di una matrice 3 x 3 con la regola di Sarrus, discussione della complessità computazionale, comandi tic, toc.

09.11.11

Sistema di equazionilineari sostituito da m equazioni in n incognite, sistema omogeneo associato, spazio delle soluzioni, teorema di Rouché-Capelli. Proprietà del determinante, cenno alla definizione assiomatica del determinante secondo Weierstrass, determinante di matrici diagonali e di matrici triangolari, teorema di Binet sul determinante del prodotto di matrici, matrice inversa, matrice non singolare, calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata non singolare con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), formula di Leibniz (cenno) (Gottfried Wilhelm Leibniz), permutazioni, inversioni, segno di una permutazione.
Laboratorio di informatica: metodo di eliminazione di Gauss per risolvere un sistema lineare, fattorizzazione triangolare LU, esempio (senza scambio di righe) e codice Octave/MATLAB relativo.
Esercizi consigliati: foglio del 03/11/2011.

11.11.11

Significato geometrico del determinante, prodotto misto, volume di un parallelepipedo, uso del determinante per calcolare il rango di una matrice, teorema di Kronecker (o dei minori orlati).
Laboratorio di informatica: fattorizzazione triangolare LU di una matrice quadrata senza scambio di righe (function fattlu.m o lugauss.m dal libro di Quarteroni-Saleri) e con scambio di righe (comando lu), matrice di permutazione, uso della decomposizione LU per risolvere un sistema di equazioni lineari (con la sostituzione in avanti e all'indietro), per calcolare l'inversa di una matrice e per calcolare il determinante di una matrice, esempio di una matrice che non ha una fattorizzazione LU, teorema sull'esistenza della fattorizzazione LU con scambio di righe.

14.11.11

Proprietà delle matrici trasposte e delle matrici inverse, gruppo generale lineare GL(n), cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base, la relazione di equivalenza di similitudine fra matrici, matrici rappresentano lo stesso endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita rispetto a basi diverse dello spazio se e solo se sono simili, autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale, polinomio caratteristico di un endomorfismo e di una matrice quadrata, autospazio relativo a un autovalore.
Laboratorio di informatica: calcolo degli autovalori e delle basi degli autospazi di una matrice quadrata a mano e con il comando eig.
Esercizi per prepararsi alla prova scritta del 18.11.11: foglio del 14/11/2011.

16.11.11

Spettro e autospazi di un endomorfismo di uno spazio vettoriale, caso di uno spazio vettoriale di dimensione finita, matrice associata all'endomorfismo rispetto a una base fissata, esempio per il calcolo di autovalori e di basi ortonormalizzate degli autospazi di una matrice reale e simmetrica.
Laboratorio di informatica: calcolo di autovalori e di basi ortonormali degli autospazi di una matrice reale e simmetrica, richiami sul calcolo della proiezione di un vettore su un versore, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, matrice ortogonale, diagonalizzabilità di un endomorfismo o di una matrice (cenno).

18.11.11

Prova in itinere: foglio del 18/11/2011.

21.11.11

Disuguaglianza tra la molteplicità algebrica di un autovalore e la dimensione dell'autospazio associato, diagonalizzabilità di un endomorfismo o di una matrice, condizione sufficiente e necessaria, esempio di una matrice non diagonalizzabile, matrici ortogonali e matrici unitarie, loro proprietà, matrici di rotazione e matrici di riflessione in R², loro autovalori e autospazi, endomorfismi autoaggiunti e matrici simmetriche/hermitiane, rappresentazione matriciale delle coniche e loro riduzione a forma canonica (cenno).
Discussione di esercizi del 18/11/2011, si vedano le soluzioni.

23.11.11

Endomorfismi autoaggiunti di spazi euclidei/unitari, loro rappresentazione matriciale rispetto a una base ortonormale nel caso di spazi di dimensione finita (matrici simmetriche/hermitiane) e loro diagonalizzazione, gli autovalori di una matrice hermitiana sono reali, autovettori associati ad autovalori distinti di una matrice hermitiana sono ortogonali, riduzione dell'equazione di una conica a forma canonica (esempio).
Laboratorio di informatica: errore algoritmico del metodo di Gauss, tecnica del pivoting ed esempio relativo (pivoting per righe), matrici di permutazione, comando Octave lu. Errore inerente del metodo di Gauss: esempio di un sistema lineare mal condizionato, condizionamento di un sistema lineare, comando Octave cond.
Esercizi consigliati: foglio del 24/11/2011.

25.11.11

Funzioni numeriche reali di una e di più variabili reali, definizione ed esempi di funzioni di una e di due variabili reali, loro grafici, curve di livello.
Laboratorio di informatica: fattorizzazione LU di una matrice senza e con la tecnica del pivoting e confronto dei risultati (Quarteroni-Saleri, p. 146, Esempio 5.8), soluzione di sistemi lineari Ax = b mal condizionati (Quarteroni-Saleri, p. 147, Esempio 5.9) utilizzando la fattorizzazione di Gauss con pivoting per righe (comando Octave/MATLAB lu) e sostituzioni in avanti e all'indietro (script sol.m), visualizzazione degli errori relativi, scala logaritmica, grafico della funzione esponenziale in un sistema di riferimento semilogaritmico, cioè linearizzazione della funzione esponenziale. Definizione di matrice definita positiva.

28.11.11

Funzioni numeriche reali di una o più variabili reali, alcuni esempi di funzioni di due variabili, loro grafici e insiemi di livello, in particolare paraboloide ellittico e paraboloide iperbolico. Lettura consigliata: Gianluca Gorni, Introduzione illustrata alle funzioni di due variabili. Limiti e continuità di funzioni reali di due e più variabili reali, esempi nel caso di una sola variabile reale.
Calcolo numerico: stima dell'errore relativo sulla soluzione di un sistema lineare perturbato (teorema di Wilkinson), dimostrazione del teorema di Wilkinson nel caso in cui la matrice dei coefficienti e simmetrica e definita positiva e solo i termini noti sono perturbati, condizionamento di un sistema lineare.

30.11.11

Crescita di un capitale investito ad un tasso fisso di interesse annuo, calcolo (della successione) del montante ad interesse composto discontinuo annuo e ad interesse composto continuo, altri limiti collegati al numero di Nepero o di Eulero, limiti e continuità di funzioni reali di due variabili reali, esempi, continuità di somma, prodotto e quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue, continuità della composta di funzioni continue. Teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi di Bolzano.
Laboratorio di informatica: norma matriciale indotta dalla norma vettoriale euclidea, numero di condizionamento di una matrice quadrata non singolare, teorema di Wilkinson sulla maggiorazione dell'errore relativo della soluzione di un sistema lineare perturbato. Localizazzione degli autovalori attraverso i cerchi di Gershgorin (Gershgorin, 1901-1933), codice Octave per la visualizzazione dei cerchi di Gershgorin, funzione ausiliaria cerchio.m.
Esercizi consigliati: foglio del 01/12/2011.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 132, 133 (numero e, calcolo degli interessi), pp. 151-201 (teoremi sulle funzioni continue, pp. 185-189, limiti collegati al numero e, p. 194), pp. 412-416 (limiti e continuità per funzioni di due variabili), pp. 416-420 (topologia: aperti, chiusi, interno, punto di frontiera, teorema di Weierstrass per funzioni di due variabili reali).
Quarteroni-Saleri, pp. 149-150 (numero di condizionamento, teorema di Wilkinson (5.29)), pp. 191-193 (cerchi di Gershgorin).

02.12.11

Definizione di derivata di una funzione reale di una variabile reale, significato geometrico (coefficiente angolare della retta tangente) e interpretazione cinematica (velocità) della derivata, equazioni della retta secante e della retta tangente al grafico di una funzione derivabile, derivate di funzioni polinomiali.
Laboratorio di informatica: breve introduzione all'uso del software REDUCE per il calcolo simbolico (calcolo di derivate con il comando df), download per Windows 32 bit (9.1 MB), download per Windows 64 bit (9.5 MB) manuale di REDUCE in formato pdf (698 pagine). Osservazioni sul numero di condizionamento, sul raggio spettrale e sulla norma matriciale indotta dalla norma vettoriale euclidea (norma spettrale) di una matrice quadrata non singolare generale e di una matrice simmetrica e definita positiva, esempi per comprendere il concetto della norma spettrale (trasformazione affine della circonferenza unitaria).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 203-211.

05.12.11

Derivate di funzioni elementari (funzioni goniometriche o circolari, funzione logaritmo), regole di derivazione ed esempi: derivata di una somma, di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili, derivata dell'inversa di una funzione derivabile, derivazione di funzioni composte, in particolare derivate della funzione esponenziale e delle funzioni inverse di funzioni circolari e di funzioni iperboliche. Definizione di differenziale di una funzione numerica reale.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 172-173 ( funzioni iperboliche), pp. 181-182 (funzioni iperboliche inverse), pp. 210-212 (derivate di funzioni elementari), pp. 217-226 (regole di calcolo delle derivate), pp. 257-258 (differenziale e approssimazione lineare).

07.12.11

Applicazione del differenziale alla stima di un errore assoluto, in particolare l'esempio della funzione log(x) che trasforma l'errore relativo su x nell'errore assoluto su log(x). Teoremi sulle funzioni derivabili: teorema di Rolle (Michel Rolle, 1652-1719), teorema del valor medio (o di Joseph Lagrange, 1736-1813), teorema generalizzato della media (o di Cauchy), interpretazione geometrica, teoremi di Bernoulli-l'Hospital ( J. Bernoulli, 1667-1748, Marquis de l'Hospital, 1661-1704), esempi per limiti nelle varie forme indeterminate (da finire).
Laboratorio di informatica: metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari, decomposizione additiva (o splitting) della matrice dei coefficienti attraverso un suo precondzionatore, metodo di Jacobi e metodo di Gauss-Seidel, convergenza di tali metodi per matrici a predominanza diagonale stretta per righe, convergenza del metodo di Gauss-Seidel per matrici reali simmetriche e definite positive (senza dimostrazione), risoluzione di un sistema malcondizionato con il metodo di Gauss-Seidel (function itermeth.m) e confronto con la sua risoluzione mediante la fattorizzazione LU e pivoting per righe ( esempio del 25 novembre).
Esercizi consigliati: foglio del 09/12/2011.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 226-245 (teorema del valor medio e conseguenze); Quarteroni-Saleri, pp. 157-162.

12.12.11

Esempi per limiti nelle varie forme indeterminate, applicazioni del teorema di Bernoulli-l'Hospital. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Taylor, resto nella forma di Lagrange, polinomi di Taylor come approssimazioni locali della funzione, serie di Taylor e serie di Maclaurin, sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale (con lo studio del resto di Lagrange) e delle funzioni seno, coseno e logaritmo naturale.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 241-245 (teorema di de l'Hospital), pp. 261-268 (formula di Taylor-MacLaurin).

14.12.11

Applicazione del calcolo differenziale allo studio del grafico di una funzione reale: condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi relativi interni (teorema di Fermat sui punti stazionari, da non confondere con l'ultimo teorema di Fermat e con il piccolo teorema di Fermat) e condizioni sufficienti, funzioni convesse e concave in un intervallo, relazione tra la convessità di una funzione e la monotonia della sua derivata, relazione tra la convessità e il segno della derivata seconda, punto di flesso ascendente e discendente, condizione necessaria e condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto di flesso, asintoti per il grafico di una funzione reale, esempio di studio di funzione: funzione logistica di crescita (P. F. Verhulst, 1838).
Laboratorio di informatica: Plot di polinomi di Taylor con REDUCE. Metodo di Newton(-Raphson) o metodo delle tangenti, ordine di convergenza del metodo di Newton, confronto del metodo di bisezione (bisection.m) col metodo di Newton (newton.m), esercizi 1 e 2 del foglio del 30/10/08.
Esercizi consigliati: foglio del 15/12/2011.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 231-235 (test di monotonia, ricerca di massimi e minimi), pp. 246-250 (derivata seconda, concavità e convessità), pp. 250-256 (studio del grafico di una funzione). Quarteroni-Saleri, pp. 47-51 (metodo di Newton).

16.12.11

Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di minimi o massimi locali interni e di punti di flesso usando anche derivate di ordine superiore della funzione (applicazione del teorema di Taylor). Esempio di studio di funzione: equazione di van Deemter (pagine 5-6 del documento linkato) in gascromatografia. Significato della derivata seconda: accelerazione e curvatura di una curva piana, moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare (frequenza angolare) costante, vettori velocità e accelerazione. Derivate parziali, equazione del piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili, esempi, in particolare esempio di una funzione derivabile parzialmente ma non continua, incremento di una funzione di due variabili, differenziale totale.
Laboratorio di informatica: discussione dell'ordine di convergenza di alcuni successioni numeriche, visualizzazione della velocità di convergenza in un sistema di riferimento semilogaritmico (comando semilogy), discussione della velocità di convergenza del metodo di Newton nel caso di uno zero semplice e nel caso di uno zero di molteplicità due, metodo di Newton modificato (newton_mod.m) per recuperare la convergenza quadratica, esempio.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 250-256 (studio del grafico di una funzione), pp. 245-246 (significato geometrico della derivata seconda, curvatura), pp. 422-426 (derivate parziali, piano tangente, differenziale). Quarteroni-Saleri, p. 49 (metodo di Newton modificato, Esempio 2.3).

19.12.11

Teorema sull'incremento di una funzione (o teorema del differenziale totale) per funzioni di più variabili, derivata direzionale, definizione e calcolo della derivata direzionale come prodotto scalare del gradiente con il versore di direzione ("formula del gradiente"), gradiente di una funzione indica la direzione del suo massimo accrescimento, esempi. Classificazione dei punti stazionari (o critici) di funzioni reali di più variabili reali: condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al ../calc/dominio di una funzione (annullarsi del gradiente o teorema di Fermat).
Laboratorio di informatica: retta dei minimi quadrati o retta di regressione e comando Octave relativo (polyfit).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 426-429 (differenziabilità e approssimazione lineare, pp. 429-431 (derivate direzionali), pp. 442-443 (massimi e minimi liberi, punti critici, teorema di Fermat), p. 452 (metodo dei minimi quadrati, retta di regressione). Quarteroni-Saleri, pp. 99-101 (metodo dei minimi quadrati).

21.12.11

Derivate parziali di ordine superiore di funzioni di più variabili, teorema di Schwarz ( Hermann Amandus Schwarz) sulle derivate seconde miste, formula di Taylor per funzioni di due variabili, matrice hessiana (Otto Hesse). Classificazione dei punti stazionari (o critici) di funzioni reali di due variabili reali: condizione necessaria (annullarsi del gradiente) e condizione sufficiente (usando la matrice hessiana) per l'esistenza di massimi e minimi locali in un punto interno al dominio di una funzione di due variabili, condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di sella, esempio.
Laboratorio di informatica: interpolazione polinomiale di Lagrange, esistenza e unicità del polinomio interpolatore, quantificazione dell'errore che si commette sostituendo una funzione con un suo polinomio interpolatore, in particolare nel caso di nodi equidistanti, fenomeno di Runge (Carl Runge, 1856-1927), interpolazione polinomiale della funzione di Runge usando un numero crescente di nodi equidistanti e rappresentazione grafica dei risultati ottenuti con il comando polyfit di Octave, nodi di Chebyshev ( P. L. Cebyshev, 1821-1894) per evitare il fenomeno di Runge, esempio.
Esercizi consigliati: foglio del 22/12/2011.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 437-442 (derivate successive e approssimazioni successive), pp. 442-455 (estremi liberi). Quarteroni-Saleri, pp. 78-84 (interpolazione polinomiale di Lagrange).
Progetti di calcolo numerico (da preparare per l'esame orale); altri progetti:
16. Successioni ricorsive (a scelta): successione di Fibonacci, successione di Collatz, successione logistica.
17. Quanti triangoli ci sono? Studiare una matrice d'incidenza.
18. Compressione di immagini e decomposizione in valori singolari di una matrice (Quarteroni-Saleri, pp. 152-154, p. 196).

09.01.12

Introduzione al calcolo integrale: problema della misura e problema della funzione primitiva, integrale definito (secondo Riemann, 1826 - 1866): definizione tramite le somme intermedie di Riemann, classi di funzioni integrabili, integrale indefinito (funzione primitiva, antiderivata), teorema fondamentale del calcolo integrale e idea della sua dimostrazione. Curiosità: funzione di Volterra, una funzione definita e derivabile nell'intervallo [0,1] la cui derivata è limitata, ma essa non è integrabile nel senso di Riemann. Esempi e applicazioni dell'integrale definito: area del sottografico di una funzione, lavoro per estendere una molla, lavoro di un gas ideale estendente (trasformazione isoterma). Proprietà dell'integrale definito: additività, monotonia (o teorema del confronto) e valore assoluto. Regole di integrazione ed esempi, in particolare integrazione per parti, integrazione per sostituzione, formula della sostituzione lineare.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 279-296.

11.01.12

Integrazione per sostituzione, esempio, Alcuni integrali che non possono essere espressi per mezzo di combinazioni finite delle cosiddette "funzioni elementari": funzione gaussiana, esponenziale integrale, seno integrale, coseno integrale, integrali ellittici. Integrazione di funzioni razionali fratte mediante la loro decomposizione in frazioni semplici, esempio. Integrali generalizzati o impropri: integrazione su intervalli illimitati, esempi di integrali convergenti e divergenti, legame con la convergenza o divergenza di serie.
Laboratorio di informatica: Integrazione numerica, introduzione e formule di quadratura semplici e composite (formula del punto medio, formula del trapezio, formula di Simpson), loro errori, gradi di esattezza e ordini di accuratezza delle formule composite, esercitazione al computer (prevista; in realtà si è discusso solo il codice di midpointc.m): confronto degli ordini di accuratezza delle formule di quadratura composite del punto medio (midpointc.m), del trapezio (comando trapz) e di Simpson (simpsonc.m).
Esercizi consigliati: foglio del 12/01/2012.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 290-292, 317-320, 304-306. Quarteroni-Saleri, pp. 112-117.
Esercizi per prepararsi alla prova scritta del 20.01.12: foglio del 13/01/2012.

13.01.12

Integrali generalizzati: integrale di Gauss e funzione di ripartizione (o funzione di distribuzione cumulativa) relativa alla distribuzione normale di Gauss (funzione normcdf di Octave), cenno sugli integrali doppi, elemento d'area in coordinate polari, integrazione con funzione integranda illimitata, esempi. Applicazioni dell'integrale definito: lunghezza di un segmento di curva, calcolo di un integrale definito mediante l' integrazione per sostituzione, volume e superficie laterale di un solido di rotazione, richiamo sul calcolo dell'area della superficie di un cono circolare e di un tronco di cono, curiosità: volume e superficie laterale della tromba di Torricelli. Introduzione alle equazioni differenziali, equazioni differenziali ordinarie, soluzione (o integrale) generale, soluzioni particolari, soluzioni singolari, esempio, problema di Cauchy, esempio di un problema di Cauchy che non ha una soluzione unica ("pennello di Peano") , esempi di equazioni differenziali a variabili separabili nella cinetica chimica: reazioni del primo ordine, grafico della concentrazione in funzione del tempo, grafici semilogaritmici, reazioni del secondo ordine, decomposizione di funzioni razionali fratte in frazioni semplici.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 511-526 (integrali doppi), p. 530 (integrale di Gauss), pp. 300-302 (integrazione di funzioni non limitate), pp. 297-299 (lunghezza di un grafico, volume di un solido di rotazione), pp. 329-334 (equazioni differenziali, equazioni del primo ordine a variabili separabili).

16.01.12

Equazioni differenziali a variabili separabili e la dinamica delle popolazioni: crescita malthusiana, modello di crescita limitata secondo Verhulst, discussione della soluzione generale e delle curve integrali dell'equazione logistica, cenno al campo di direzioni (si veda anche il seguente applet). Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti, soluzioni generali secondo le radici dell'equazione caratteristica associata nel caso di ordine due, esempi, in particolare oscillatore armonico non smorzato e smorzato (breve discussione dei casi di sovrasmorzamento, smorzamento critico e sottosmorzamento).

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 335-336 (equazione logistica, 2.5, 2.6), pp. 350-352 (equazioni omogenee a coefficienti costanti), pp. 359-365 (vibrazioni meccaniche).

18.01.12

Integrali doppi: definizione e calcolo come integrali iterati, teorema di Fubini, cambiamento di variabili negli integrali doppi, esempi. Esercizi sulle funzioni di due variabili: derivata direzionale, classificazione dei punti critici.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 511-526.

20.01.12

Prova in itinere: foglio del 20/01/2012. Discussione di alcuni progetti di calcolo numerico.

last updated 22nd January 2012 Rüdiger Achilles