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Programma di

Complementi di Geometria

Ing. Meccanica, Ing. Elettronica e Telecomunicazioni (Prof. M. Ferri, Prof. P. Frosini)


Ripasso

Strutture algebriche. Matrici, determinante, rango. Spazi vettoriali, trasformazioni lineari. Sistemi lineari. Forme bilineari e quadratiche. Spazi affini ed euclidei.

Teoria

Geometria proiettiva

Motivazioni. Spazi proiettivi. Esempi. Dipendenza e sottospazi. Riferimenti. Proiettività. Prospettività. Dualità. Collegamento affine-proiettivo. Punti impropri. Iperquadriche. Polarità. Iperquadriche nell'affine e nell'euclideo. Fasci di coniche.

Complementi di algebra

Molteplicità di radici. Risultante. Discriminante.

Geometria differenziale

Curve piane: intersezione, forme parametriche, tangente e normale; curve piane notevoli.
Superfici e curve dello spazio: intersezione, forme parametriche, tangenza; curve e superfici notevoli.
Contatto fra curve piane: punti singolari, flessi; cerchio osculatore; curvatura; punti multipli; asintoti.
Contatto fra curve dello spazio: punti singolari, flessi; triedro principale; cerchio osculatore; flessione e torsione; formule di Frenet.
Superfici: punti singolari; tangenti asintotiche; classificazione dei punti semplici ordinari; punti multipli.
Varietà differenziabili: cenni.

Esercitazioni

Determinazione di sottospazi proiettivi e di proiettività. Ricerca di punti impropri. Calcolo di polo, polare, vertice, centro, iperpiani principali.

Calcolo di risultanti e discriminanti.

Costruzione di curve piane come luoghi geometrici. Costruzione di coni, cilindri, superfici di rotazione, sfere. Determinazione di: punti singolari, tangenti, asintoti; curvatura e cerchi osculatori di curve piane. Determinazione di: triedri principali, flessione e torsione di curve dello spazio. Determinazione di: punti singolari, piani e coni tangenti, tangenti asintotiche.

Esercizi proposti. Si possono scaricare le prove d'esame dell'A.A. 2008-2009 e 2009-2010 risolte.

Link ad alcune utili demo matematiche.

Alcuni file interattivi per il programma (di pubblico dominio) GeoGebra:
dipendenza affine
dipendenza proiettiva
dualità in 3D
teorema di Steiner
polarità nel piano
polarità senza vedere la conica
polarità nello spazio
tangenti ad una quadrica in un punto
una conica nel proiettivo, tante coniche nell'affine
diametri di una ellisse
diametri di una parabola
proprietà dei fuochi di un'ellisse
proprietà dei fuochi di una parabola
piani principali di un elissoide
intersezioni di un iperboloide iperbolico con piani di due fasci particolari
intersezione di un paraboloide iperbolico con piani per una generatrice impropria
intersezione di un paraboloide iperbolico con piani per una generatrice propria
fascio di coniche di primo tipo
fascio di coniche di secondo tipo
fascio di coniche di terzo tipo
due sistemi di curve
altri due sistemi di curve
podaria di un'ellisse
cubica sghemba e varie superfici che la contengono
semplice superficie di rotazione
circonferenze tangenti in punti semplici ordinari
circonferenze tangenti in un flesso
punti semplici e multipli
concoidi di Nicomede (il punto doppio isolato non si vede ma nell'origine)
evoluta di un'ellisse
evoluta di una parabola
evoluta di una cubica
circonferenza e sfere osculatrici nello spazio
sezioni piane di un (mezzo) toro
teorema di Eulero (punto ellittico)
teorema di Eulero (punto iperbolico)
teorema di Meusnier
esercizio proposto n.4
esercizio proposto n.13
esercizio proposto n.21
esercizio proposto n.16.


Testi

Testo utilizzato
Dispense distribuite dal docente.

1 - Spazi proiettivi.
2 - Iperquadriche.
3 - Polinomi.
4 - Curve e superfici.
5 - Contatto.

Testi di riferimento

  • M. Barnabei, F. Bonetti, Sistemi lineari e matrici, Ed. Pitagora, 1992 (per un ripasso di algebra lineare).
  • M. Barnabei, F. Bonetti, Spazi vettoriali e trasformazioni lineari, Ed. Pitagora, 1993 (per un ripasso di algebra lineare).
  • C. Gagliardi, L. Grasselli, Algebra lineare e geometria, vol. 1-3, coll. Leonardo, ed. Esculapio, 1993 (in particolare: vol. 1 per un ripasso di algebra lineare, vol. 3 per gli spazi proiettivi).
  • M.R. Casali, C. Gagliardi, L.Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna, 2010 (manuale più snello).
  • E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer, 2011.
  • R. Caddeo, A. Gray, Curve e superfici, CLUEC, 2002, vol. 1-2 (trattato esauriente di geometria differenziale).
  • M. Villa, Lezioni di Geometria per gli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica ed Ingegneria, CEDAM, 1972 (vecchio libro di pratica consultazione per la geometria di curve e superfici).
  • A. Pogorelov, Geometry, MIR 1987 (vecchio libro anche questo, ma di migliore qualità).


    • Per gli esercizi può andare bene qualunque libro purché, ovviamente, copra la materia in questione. Non è facile trovare eserciziari moderni che trattino la parte differenziale. Anche qui un vecchio libro può servire allo scopo:
  • M. Villa, Esercizi di geometria: per gli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica ed Ingegneria , Patron, 1970.

    • Letture utili
    Potete scaricare la lezione del 21/5/2013 del Prof. M. Carricato su "cinematica e geometria delle rette", alcuni paragrafi scritti dal Prof. U. Meneghetti sull'uso degli inviluppi nella progettazione di ruote dentate, la conferenza sulla trasformata di Hough generalizzata, il mini-corso su matematica, forma e visione artificiale parte 1 e parte 2. Due superfici rigate in architettura: la scuola della Sagrada Familia (A. Gaudí) e la stazione dell'alta velocità mediopadana.


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