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Programma di

Complementi di Geometria

Ing. Meccanica (Prof. M. Ferri)


Teoria

Geometria proiettiva

Motivazioni. Spazi proiettivi. Esempi. Dipendenza e sottospazi. Riferimenti. Proiettività. Prospettività. Dualità. Collegamento affine-proiettivo. Punti impropri. Iperquadriche. Polarità. Iperquadriche nell'affine e nell'euclideo. Fasci di coniche.

Complementi di algebra

Molteplicità di radici. Risultante. Discriminante.

Geometria differenziale

Curve piane: intersezione, forme parametriche, tangente e normale; curve piane notevoli.
Superfici e curve dello spazio: intersezione, forme parametriche, tangenza; curve e superfici notevoli.
Contatto fra curve piane: punti singolari, flessi; cerchio osculatore; curvatura; punti multipli; asintoti.
Contatto fra curve dello spazio: punti singolari, flessi; triedro principale; cerchio osculatore; flessione e torsione; formule di Frenet.
Superfici: punti singolari; tangenti asintotiche; classificazione dei punti semplici ordinari; punti multipli.
Varietà differenziabili: cenni.

Esercitazioni

Determinazione di sottospazi proiettivi e di proiettività. Ricerca di punti impropri. Calcolo di polo, polare, vertice, centro, iperpiani principali.

Calcolo di risultanti e discriminanti.

Costruzione di curve piane come luoghi geometrici. Costruzione di coni, cilindri, superfici di rotazione, sfere. Determinazione di: punti singolari, tangenti, asintoti; curvatura e cerchi osculatori di curve piane. Determinazione di: triedri principali, flessione e torsione di curve dello spazio. Determinazione di: punti singolari, piani e coni tangenti, tangenti asintotiche.

Esercizi proposti. Si possono scaricare le prove d'esame dell'A.A. 2008-2009 e 2009-2010 risolte.

Link ad alcune utili demo matematiche.
Alcuni file interattivi per il programma (di pubblico dominio) GeoGebra:
Teorema di Eulero (punto ellittico)
Teorema di Eulero (punto iperbolico)
Teorema di Meusnier
Circonferenza e sfere osculatrici nello spazio
Concoidi di Nicomede (il punto doppio isolato non si vede ma č nell'origine)
intersezioni di un iperboloide iperbolico con piani di due fasci particolari
intersezione di un parabolide iperbolico con piani per una generatrice impropria
intersezione di un parabolide iperbolico con piani per una generatrice propria
piani principali di un elissoide
dualitā in 3D
punti semplici e multipli
teorema di Steiner
polaritā
fascio di coniche di primo tipo
fascio di coniche di secondo tipo
fascio di coniche di terzo tipo
podaria di un'ellisse
evoluta di un'ellisse
evoluta di una parabola
evoluta di una cubica
circonferenze tangenti in punti semplici ordinari
circonferenze tangenti in un flesso
esercizio proposto n.4
esercizio proposto n.13
esercizio proposto n.21
esercizio proposto n.16.



Testi

Testo utilizzato
Dispense distribuite dal docente.

1 - Spazi proiettivi.
2 - Iperquadriche.
3 - Polinomi.
4 - Curve e superfici.
5 - Contatto.

Testi di riferimento

  • M. Barnabei, F. Bonetti, Sistemi lineari e matrici, Ed. Pitagora, 1992 (per un ripasso di algebra lineare).
  • M. Barnabei, F. Bonetti, Spazi vettoriali e trasformazioni lineari, Ed. Pitagora, 1993 (per un ripasso di algebra lineare).
  • C. Gagliardi, L. Grasselli, Algebra lineare e geometria, vol. 1-3, coll. Leonardo, ed. Esculapio, 1993 (in particolare: vol. 1 per un ripasso di algebra lineare, vol. 3 per gli spazi proiettivi).
  • M.R. Casali, C. Gagliardi, L.Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna, 2010 (manuale più snello).
  • E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer, 2011.
  • R. Caddeo, A. Gray, Curve e superfici, CLUEC, 2002, vol. 1-2 (trattato esauriente di geometria differenziale).
  • M. Villa, Lezioni di Geometria per gli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica ed Ingegneria, CEDAM, 1972 (vecchio libro di pratica consultazione per la geometria di curve e superfici).


  • Per gli esercizi può andare bene qualunque libro purché, ovviamente, copra la materia in questione. Non è facile trovare eserciziari moderni che trattino la parte differenziale. Anche qui un vecchio libro può servire allo scopo:
  • M. Villa, Esercizi di geometria: per gli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica ed Ingegneria , Patron, 1970.
  • Letture utili
    Potete scaricare la lezione del 21/5/2013 del Prof. M. Carricato su "cinematica e geometria delle rette", alcuni paragrafi scritti dal Prof. U. Meneghetti sull'uso degli inviluppi nella progettazione di ruote dentate, la conferenza sulla trasformata di Hough generalizzata, il mini-corso su matematica, forma e visione artificiale parte 1 e parte 2.


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